Cinque paradossi famosi e divertenti per lasciare gli amici a bocca aperta

Uno dei più celebri disegni di M.C. Escher, che ci introduce ai paradossi
Uno dei più celebri disegni di M.C. Escher, che ci introduce ai paradossi

 
Per chi come il sottoscritto insegna filosofia, i paradossi sono un vero toccasana: per una volta permettono, sfidandoli ad una sorta di gioco mentale, di non annoiare gli studenti. E sono uno spasso anche da spiegare.

Così, quando capita di far supplenza in una classe altrui e si vuole evitare che i giovani si mettano a dormire sul banco o a fare i conti per il Fantacalcio, avere una riserva di intriganti paradossi a portata di mano può tornare utile. E, se avete degli amici amanti dei giochi mentali, questi rompicapi della logica possono diventare anche strumenti utili per impressionare i coetanei.


Leggi anche: Cinque straordinari film sui viaggi nel tempo

Vediamo dunque, e cerchiamo di spiegare e – ove possibile – risolvere, cinque paradossi famosi e divertenti della storia della filosofia.

 

Paradosso del mentitore

Epimenide il bugiardo e i suoi adepti

Un libro sul paradosso del bugiardoI primi, storicamente, che usarono i paradossi con fini filosofici furono gli stoici, che se ne servirono per dimostrare che tra logica ed ontologia non poteva esserci un legame necessario. O, detta in altri termini, che le regole del ragionamento non valevano necessariamente anche per la realtà. Infatti, sostenevano, a volte il ragionamento incappa in un risultato assurdo, in un “corto circuito”, mentre nella corrispondente realtà tutto fila in un certo senso liscio.

Il paradosso del bugiardo risaliva, pare, al cretese Epimenide, ma proprio gli stoici ne fecero un grande uso. Il paradosso è semplicissimo e consiste nel dire: «Questa frase è falsa». Una frase del genere, secondo la logica classica, non può essere infatti né vera, né falsa. Se fosse vera, significherebbe che è falsa e quindi non potrebbe essere vera; se fosse falsa significherebbe che è vero che è falsa, e quindi non potrebbe essere falsa. Si arriva, evidentemente, ad un paradosso.

Oltre a questa formulazione, che è la più semplice ed immediata da capire, esistono decine di variazioni sul tema. La prima versione, quella di Epimenide, consisteva nel dire che tutti i cretesi sono bugiardi, frase che non può mai essere vera se pronunciata da un cretese, ma potrebbe essere falsa. Diogene Laerzio la riferiva invece nella forma «Io sto mentendo». Inoltre si interessarono alla questione anche Aristotele e Miguel de Cervantes, che rielaborò il paradosso all’interno di una scena del suo Don Chisciotte.

Il paradosso del coccodrillo

La variazione più complessa e intrigante è però forse quella del coccodrillo: un coccodrillo rapisce un bambino e dice alla madre che glielo restituirà se lei riuscirà ad indovinare se il coccodrillo ha realmente intenzione di restituirlo oppure no. La madre risponde che il coccodrillo non vuole restituire il bambino e in questo modo l’animale si scopre bloccato, perché se dice che la madre ha torto allora deve restituire il bimbo (cosa che non dovrebbe fare perché lei avrebbe perso la scommessa), mentre se dice che la madre ha ragione allora dovrebbe restituirlo, facendo però così il contrario di quella che era la sua decisione.

 

Paradosso dell’avvocato

Protagora contro Evatlo

Protagora è protagonista di un celebre paradossoSempre di scuola stoica, e citato per la prima volta dallo scrittore romano Aulo Gellio, è il paradosso dell’avvocato, che nella tradizione ha per protagonista il filosofo sofista Protagora.

Questi, come tutti i sofisti, era infatti un abile oratore e maestro a pagamento di vari giovani allievi. Un aspirante avvocato si mise d’accordo con lui per delle lezioni, pattuendo un compenso molto particolare: metà della cifra concordata sarebbe stata pagata subito, mentre la seconda metà il giovane allievo di nome Evatlo l’avrebbe pagata nel momento in cui avesse vinto la sua prima causa. Una volta terminate le lezioni, però, Evatlo cambiò idea e decise di non intraprendere più la carriera di avvocato, dirigendo i propri interessi verso la politica. In questo modo non si misurò in una causa legale, né ne vinse una, facendo sì che Protagora non venisse pagato per la seconda metà della cifra pattuita.

Dopo un po’ di tempo il filosofo si stancò della situazione e decise di citare Evatlo in giudizio, pretendendo la seconda parte del pagamento. Evatlo, però, decise di difendersi da solo, dando così inizio alla sua prima causa come avvocato. Il paradosso, a questo punto, era che il giudice non poteva di fatto decidere a chi dare ragione.

Chi deve pagare?

Protagora infatti argomentava che, se Evatlo avesse vinto la causa, avrebbe dovuto pagarlo in base al vecchio accordo, e che, se invece l’avesse persa, avrebbe dovuto pagarlo comunque in base alla sentenza del giudice. Evatlo, al contrario, sosteneva che, se avesse vinto la causa, non avrebbe dovuto pagare Protagora perché così avrebbe deciso il giudice, mentre se avesse perso la causa non avrebbe dovuto comunque pagare perché non sarebbe ancora risultato vincitore in alcun dibattimento in tribunale.

 

Paradosso dell’onnipotenza

Quello che neppure Dio può fare

Un celebre ritratto di Cartesio di Frans HalsDi epoca medievale e moderna è invece il celebre paradosso dell’onnipotenza, che fu affrontato, tra gli altri, da Pier Damiani, Abelardo, Nicola Cusano e Cartesio: tale paradosso si domanda se Dio, che è per definizione onnipotente, sia in grado di creare un masso o un altro oggetto inamovibile.

Il paradosso sta nel fatto che se Dio è onnipotente deve poter creare un masso del genere, ma se è onnipotente dovrebbe anche essere in grado di muovere quello stesso masso, cosa che però negherebbe la sua onnipotenza nel crearlo. Detta in altri termini, se Dio crea un masso inamovibile e poi lo sposta, significa che il masso che ha creato non era inamovibile e che non è stato in grado di renderlo realmente inamovibile.


Leggi anche: Cinque matematici e fisici famosi che andavano male a scuola

Di per sé, il paradosso avrebbe una facile soluzione, semplicemente dichiarando che l’onnipotenza non esiste, cosa che però era inammissibile per i filosofi medievali e rinascimentali, ferventi credenti. Cartesio, ad esempio, cercò di risolvere la questione affermando che Dio riuscirebbe comunque a spostare il masso, pur creandolo inamovibile; ma così argomentando sosteneva che Dio non obbedisce alla logica e rispondere a un problema logico mandando all’aria tutta la logica è uno stratagemma forse un po’ troppo semplicistico. Sulla stessa linea si poneva, tempo prima, il teologo Pier Damiani, che sosteneva che se Dio dovesse obbedire alla logica allora non sarebbe più onnipotente.

Una possibile soluzione

L’unica soluzione a nostro avviso con una parvenza di coerenza razionale è quella che Dio, essendo onnipotente, potrebbe scegliere autonomamente di limitarsi, come d’altronde già fa col libero arbitrio, quando decide di non interferire con le decisioni degli uomini pur potendolo fare. Perciò Dio potrebbe creare davvero un masso inamovibile rendendolo inamovibile a tutti tranne che a se stesso e comunque decidendo di non volerlo muovere.

 

Paradosso del barbiere

L’antinomia attraverso cui Bertrand Russell fece crollare le pretese di Frege

Bertrand Russell elaborò vari paradossi famosi e divertentiOggi Bertrand Russell è ricordato – quando è ricordato – come un simpatico pacifista anticlericale dotato di molta intelligenza e di buon senso dell’umorismo. In vita, però, fu anche molto più di questo: fu, infatti, soprattutto un matematico e un logico di prim’ordine, capace di scrivere uno dei testi più importanti del Novecento come i Principia mathematica.

Ben prima di dare alle stampe quest’opera, pubblicata tra il 1910 e il 1913, Russell elaborò infatti un paradosso che riuscì a dimostrare la contraddittorietà della teoria degli insiemi di Cantor e a rendere vani i tentativi di Gottlob Frege di dare alla matematica una fondazione basata sulla logica. Lo inviò egli stesso a Frege, di cui seguiva gli studi, per lettera e questo fu per il tedesco un colpo talmente pesante che lo portò ad abbandonare ogni studio sull’argomento.

Storia della filosofia occidentale
EUR 13,60 EUR 16,00
Generalmente spedito in 24 ore
Il trionfo della stupidità
EUR 11,90 EUR 14,00
Generalmente spedito in 24 ore
Il credo dell'uomo libero.
EUR 10,20 EUR 12,00
Generalmente spedito in 24 ore

Anni dopo – e precisamente nel 1918 – lo stesso Russell rielaborò la sua antinomia in una forma più comprensibile ai profani che va sotto il nome di “paradosso del barbiere”. In un villaggio c’è un solo barbiere, che rade tutti gli uomini che non si radono da soli. La domanda è: il barbiere, che è sempre sbarbato, chi lo rade? Il quesito è insolubile: se il barbiere non si rade da solo, allora dovrebbe radersi in prima persona; ma se si rade non è più uno che non si rade da solo, e quindi il barbiere non dovrebbe radersi.

Il bibliotecario e i suoi cataloghi

Ancora più preciso è, però, il paradosso del bibliotecario elaborato da Thoralf Skolem, un matematico norvegese che tentò di rendere più comprensibile l’antinomia di Russell. Egli immaginò una biblioteca in cui viene chiesto al bibliotecario di preparare vari cataloghi, ad esempio per titolo, per autore, per numero di pagine e così via. Alcuni cataloghi, però, finiranno per contenere anche loro stessi (ad esempio il catalogo dei libri scritti dopo una tale data conterrà anche il catalogo stesso, cioè se stesso, così come il catalogo di tutti i cataloghi citerà obbligatoriamente anche se stesso), mentre altri no. Per questo il bibliotecario ad un certo punto penserà di preparare il catalogo di tutti i cataloghi che non contengono loro stessi al proprio interno. Ma qui sorge il dilemma: il catalogo dei cataloghi che non contengono loro stessi deve includere se stesso oppure no?

 

Paradosso dell’uguaglianza di 1 e 2

Un piccolo imbroglio per mettere alla prova l’attenzione dei matematici

Concludiamo con un paradosso che, in realtà, non è né un paradosso né un’antinomia ma, lo diciamo subito, un vero e proprio imbroglio, e che riguarda l’aritmetica.

Prima illustriamolo e poi vediamo dove sta l’inghippo.
Poniamo, inizialmente, che
a = b
Quindi, come ci insegna l’aritmetica elementare, possiamo moltiplicare da entrambe le parti dell’equivalenza per uno stesso numero, ottenendo
a \cdot a = b \cdot a
A questo punto abbiamo quindi
a^2 = ab
Sottraiamo ora da entrambe le parti uno stesso numero
a^2 - b^2 = ab - b^2
E, sempre per le regole base dell’aritmetica, sviluppiamo
(a + b) \cdot (a - b) = b \cdot (a - b)
A questo punto possiamo dividere da entrambe le parti per uno stesso numero
\frac{(a + b) \cdot (a - b)}{a - b} = \frac{b \cdot (a - b)}{a - b}
Semplificando, otteniamo
a + b = b
Ma dato che, come detto all’inizio, a = b, ne deriva
b+b = b
Cioè
2b = b
E cioè
2 = 1
che è ovviamente un paradosso.

Avete notato dov’è l’imbroglio? A questo punto, quando ripeterete questa dimostrazione ai vostri amici, dovrete lasciare loro il tempo di riesaminare i vari passaggi, ma difficilmente troveranno l’errore. Quindi, dopo una certa pausa scenica, rivelate il mistero: nel sesto passaggio della nostra dimostrazione abbiamo diviso da entrambe le parti per (a – b), ma non avremmo potuto farlo perché se a = b, allora (a – b) = 0, e non si può mai dividere da entrambe le parti per 0.

 

Segnala altri paradossi famosi e divertenti nei commenti.