Se siete adulti, sicuramente, a suo tempo, avete studiato la proprietà associativa. La si impara alla scuola primaria e poi, nel corso del proprio percorso scolastico, la si applica migliaia e migliaia di volte, in maniera pressoché automatica. Il problema è che ci si dimentica qual era, questa benedetta proprietà associativa, e quindi non si è più in grado di definirla.

Così, quando ci si ritrova adulti coi figli che vengono a chiedere informazioni su questa proprietà della matematica, a volte si viene presi in contropiede. E allora si apre subito il browser sul proprio cellulare, in cerca della risposta.

Se siete arrivati qui proprio in questo modo, nelle prossime righe trovate tutte le spiegazioni del caso. Se invece volete rafforzare le conoscenze dei vostri ragazzi o siete addirittura docenti della scuola primaria, più avanti vi forniamo qualche esercizio adatto allo scopo.

 

1. La proprietà associativa: la definizione

Partiamo prima di tutto dalla definizione. E dicendo che la proprietà associativa è una proprietà algebrica dell’addizione e della moltiplicazione.

Nel caso dell’addizione, prevede che alcuni addendi possano essere sostituiti con la loro somma, senza che questo cambi il risultato finale. Nel caso della moltiplicazione, invece, alcuni fattori possono essere sostituiti con il loro prodotto, senza che questo cambi il risultato finale.

In pratica, è una proprietà che compete a solo queste due operazioni e che consente di “sveltire” i conti, se così vogliamo dire. Si rivela infatti particolarmente utile quando l’addizione o la moltiplicazione presentano un gran numero di fattori.

Non è un caso che venga usata anche al volo, quando si fanno i conti a mente, a volte senza neppure pensarci. In particolare con l’addizione, infatti, vi renderete conto che si tratta di una proprietà usatissima anche quando si va a fare la spesa o si chiede il resto.

   

 

2. La proprietà associativa dell’addizione

Approfondiamo ora il discorso, concentrandoci per un momento in particolare sull’addizione. Secondo la definizione che abbiamo dato, la proprietà associativa permette di sostituire ad alcuni fattori il risultato della loro somma.

Facciamo un esempio concreto, per capirci meglio. Poniamo di avere un’addizione di questo genere:

2 + 3 + 7 + 8 = 20

Il risultato, se avete fatto il conto a mente, è ovviamente 20. Ma prima di arrivarci possiamo applicare la proprietà associativa e sommare tra loro il primo e il secondo addendo (il 2 e il 3), così:

5 + 7 + 8 = 20

Se poi facessimo lo stesso con il 7 e con l’8, otterremmo questo risultato:

5 + 15 = 20

Proprieta' Associativa dell'Addizione

A questo punto, vi renderete conto che, anche facendolo a mente, il conto diventa molto più agevole. Anche a prima vista, una volta data l’operazione di partenza, era facile capire che 2 e 3 assieme potevano essere sostituiti dal 5, mentre il 7 e l’8 potevano essere sostituiti dal 15.

Un altro esempio

La proprietà associativa funziona proprio in questo modo. E non ci si deve per forza accontentare di sommare tra loro solo due fattori. Il discorso si può ampliare. Facciamo un altro esempio:

7 + 3 + 10 + 91 = 111

Tramite la nostra proprietà possiamo infatti sommare tra loro i primi tre numeri e ottenere:

20 + 91 = 111

   

 

3. La proprietà associativa della moltiplicazione

Ora passiamo alla moltiplicazione. Il meccanismo è il medesimo, solo un po’ più complicato dal fatto che le moltiplicazioni a mente sono a volte meno agevoli delle somme.

Ad ogni modo, la proprietà associativa della moltiplicazione consente di sostituire due o più fattori di una moltiplicazione con il risultato del loro prodotto. Usiamo anche qui un paio di esempi. Ecco il primo:

2 \cdot 5 \cdot 20 = 200

Usando la proprietà associativa e moltiplicando tra loro i primi due fattori (il 2 e il 5), otteniamo:

10 \cdot 20 = 200

Proprieta' Associativa della Moltiplicazione

Come vedete, in questa seconda versione l’operazione è più semplice da fare anche a mente, e il risultato ovviamente non cambia.

Un esempio più complesso

Anche per quanto riguarda la moltiplicazione, però, proponiamo un secondo esempio un po’ più complicato. Eccolo:

7 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 = 350

Anche in questo caso possiamo raggruppare tra loro i primi due termini e i secondi due, così:

(7 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 350

ottenendo:

35 \cdot 10 = 350

Come vedete, la proprietà consente di sveltire notevolmente le procedure e i conti, se la si applica ovviamente con intelligenza ed esattezza.

   

 

4. Esercizi per la scuola primaria

La proprietà l’abbiamo capita, ma ovviamente bisogna poi esercitarsi fin da bambini per imparare ad applicarla a dovere. Ecco allora alcuni esercizi che possono essere proposti ai vostri ragazzi, sia che voi siate genitori, sia che siate insegnanti. Li scriviamo in caratteri normali, in modo che possiate copiarli e incollarli agevolmente1.

Somma tra loro i primi due addendi e gli ultimi due, prima di risolvere l’addizione

(3 + 7) + (12 + 8) = ….. + ….. = …..

(5 + 15) + (9 + 1) = ….. + ….. = …..

(1 + 4) + (4 + 6) = ….. + ….. = …..

 
Moltiplica tra loro i primi due fattori e gli ultimi due, prima di risolvere la moltiplicazione

(2 ⋅ 5) ⋅ (3 ⋅ 3) = ….. ⋅ ….. = …..

(4 ⋅ 3) ⋅ (2 ⋅ 10) = ….. ⋅ ….. = …..

(7 ⋅ 3) ⋅ (3 ⋅ 2) = ….. ⋅ ….. = …..

 

5. E la proprietà dissociativa?

Forse vi ricorderete, per concludere, che la proprietà associativa ha però in un certo senso anche una sua proprietà inversa: quella dissociativa. Quest’ultima infatti funziona esattamente al contrario rispetto a quanto abbiamo detto finora.

Se nella proprietà associativa potevamo infatti associare alcuni fattori, nella proprietà dissociativa possiamo scomporli, questi fattori, senza che il risultato dell’operazione muti. E questo vale sia per l’addizione che per la moltiplicazione.

Le proprietà dell' addizione

Ecco un esempio per l’addizione:

12 + 20 = 32

può essere infatti scritto anche come

(2 + 10) + (15 + 5) = 32

La stessa cosa avviene per la moltiplicazione. L’operazione

10 \cdot 6 = 60

può essere convertita in

(2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3) = 60

 

Domande e risposte finali

Cosa dice la proprietà associativa?

La proprietà associativa è una proprietà algebrica dell'addizione e della moltiplicazione. Nel caso dell'addizione, prevede che alcuni addendi possano essere sostituiti con la loro somma, senza che questo cambi il risultato finale. Nel caso della moltiplicazione, invece, alcuni fattori possono essere sostituiti con il loro prodotto, senza che questo cambi il risultato finale.

Come si applica la proprietà associativa?

Si applica associando tra loro due o più termini e sostituendoli con la loro somma o prodotto, a seconda del tipo di operazione a cui si applica la proprietà. È particolarmente utile nel caso in cui la somma o la moltiplicazione siano formate da numerosi fattori.

 

E voi, quale aspetto della proprietà associativa preferite?

Note e approfondimenti

  • 1 Se poi volete invece degli esercizi interattivi, da fare direttamente sul browser, provate con quelli della Khan Academy, qui.

 

Segnala altre caratteristiche della proprietà associativa nei commenti.