L’area del cerchio: la formula per calcolarla (e altre curiosità)

Come calcolare l'area del cerchio

Ci sono formule geometriche che rimangono saldamente impresse nella memoria, anche se vengono apprese quando si è molto piccoli: l’area del triangolo, ad esempio, che è uguale a base per altezza diviso due. Oppure l’enunciazione del teorema di Pitagora, secondo cui in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Altre, invece, passano malauguratamente di mente, e tra queste c’è spesso quella dell’area del cerchio.

Come si calcola, infatti, questa superficie? Lo ricordate? Probabilmente vi può sovvenire che bisogna moltiplicare qualcosa per il celebre Pi greco, ma può darsi non ricordiate cosa. Paradossalmente, è forse più facile ricordare il volume della sfera, per via della celebre filastrocca («Il volume della sfera qual è? Quattro terzi, Pi greco, erre tre»).

Insomma, se volete recuperare la formula per calcolare l’area del cerchio siete nel posto giusto. Qui di seguito troverete la versione classica, quella da utilizzare quando si ha a disposizione il valore del raggio, ma anche tutta una serie di altre formule derivate. Procediamo.

 

1. La formula per calcolare l’area del cerchio

Partiamo, innanzitutto, dalla formula più celebre per calcolare l’area del cerchio, quella che molto probabilmente state cercando. Eccola:

A = \pi \cdot r^2

Cerchiamo di capire per cosa stanno le lettere che abbiamo utilizzato. A indica, ovviamente, l’area del cerchio, il dato da trovare. r^2 indica invece il raggio dello stesso cerchio (la misura di qualsiasi linea che unisce il centro a un punto della circonferenza), che va però elevato al quadrato.

\pi è infine il Pi greco, di cui parleremo più diffusamente più avanti. Per il momento vi basti sapere che si tratta di una costante il cui valore può essere ragionevolmente approssimato a 3,14.

   

 

2. Come calcolarla quando si hanno il diametro o la circonferenza

Può darsi, però, che nel problema che vi è stato posto non abbiate a disposizione il valore del raggio, l’unico necessario per utilizzare la formula che vi abbiamo dato qualche riga più sopra. Magari vi hanno dato il diametro o il valore della circonferenza. E allora, come si fa?

Raggio, diametro, corda e centro del cerchio (disegno di Matfil04 via Wikimedia Commons)
Raggio, diametro, corda e centro del cerchio (disegno di Matfil04 via Wikimedia Commons)

In realtà la soluzione è più semplice di quel che si possa credere. Il diametro, infatti, non è altro che il doppio del raggio. La misura della circonferenza, inoltre, si può ricavare conoscendo sempre il raggio. Pertanto anche con queste misure è possibile calcolare l’area del cerchio.

Avendo a disposizione il valore del diametro (che indicheremo con d), la formula diventa la seguente:

A = \displaystyle \frac{\pi \cdot d^2}{4}

Avendo invece il valore della circonferenza, ovvero il perimetro (che indicheremo con 2p), la formula diviene:

A = \displaystyle \frac{(2p)^2}{4 \cdot \pi}

   

 

3. Le formule inverse

Dopo aver visto come trovare l’area del cerchio, proviamo ora ad invertire tutto. Può infatti anche capitare di trovarsi in una situazione opposta; di conoscere, cioè, l’area di questa figura geometrica ma di dover scoprire quanto misurano il raggio o il diametro.

In questi casi si devono utilizzare le formule inverse, tramite le quali, mediante opportuni accorgimenti, si riescono a ricavare i valori che stiamo cercando. Ecco le principali, ovvero quelle per trovare il raggio, il diametro o la circonferenza.

r = \displaystyle \sqrt\frac{A}{\pi}

d = \displaystyle \sqrt\frac{4 \cdot A}{\pi}

2p = \sqrt{4 \cdot A \cdot \pi}

D’altronde, i rapporti tra raggio, diametro e circonferenza dovreste ricordarli. Ve li riproponiamo qui di seguito, per sicurezza:

r = \displaystyle \frac{d}{2}

d = 2 \cdot r

2p = 2 \cdot \pi \cdot r

2p = d \cdot \pi

 

4. Che cosa sono cerchio e circonferenza

Ora che abbiamo capito quali sono le formule da usare quando ci si trova davanti ad un cerchio, forse è bene però anche spiegare che cosa sia, questo fantomatico cerchio. E che differenza ci sia con la circonferenza, visto che in geometria le due parole indicano due cose diverse.

La circonferenza è l’insieme dei punti equidistanti da un punto fissato, chiamato centro. La circonferenza è quindi la linea tonda tracciata in quello che normalmente chiamiamo cerchio, tanto è vero che con il termine circonferenza si indica anche il perimetro di tale cerchio, la misura cioè della linea tonda.

Il cerchio, invece, è la parte di piano delimitata dalla circonferenza, cioè questa parola indica di fatto l’area compresa all’interno della linea tonda. Il raggio, infine, è la linea che unisce il centro a un qualsiasi punto della circonferenza, mentre il diametro è il segmento che unisce due qualsiasi punti della circonferenza passando per il centro.

   

 

5. Il Pi greco

E il Pi greco, di cui abbiamo tanto parlato in queste righe? Di cosa si tratta? Intanto diciamo che è una costante matematica, ed è pari al rapporto, in un qualsiasi cerchio, tra il perimetro e il diametro. La formula che lo definisce è quindi la seguente:

\pi = \displaystyle \frac{2p}{d} = \frac{2p}{2 \cdot r}

Numericamente da questo rapporto si ricava un numero irrazionale, cioè che non può essere scritto sotto forma di frazione tra interi (e quindi ha “infinite cifre dopo la virgola”, come si usa dire). Anche se in genere lo si approssima a 3,14, queste, per la vostra curiosità, sono le sue prime cifre decimali:

\pi = 3,14159265358979323846...

   

 

Domande e risposte finali

Come si calcola l'area di un cerchio?

Per calcolare l'area del cerchio bisogna moltiplicare il quadrato del raggio per la costante Pi greco (3,14).

Come si calcola l'area di un cerchio avendo il diametro?

L'area del cerchio a partire dal diametro è uguale al diametro elevato al quadrato, moltiplicato per Pi greco e diviso per 4.

Come si calcola il perimetro di un cerchio?

Il perimetro del cerchio, o la misura della circonferenza, è uguale a due volte il raggio per Pi greco.

 

E voi, quale aspetto dell’area del cerchio preferite?

 

Segnala altre cose da sapere sull’area del cerchio nei commenti.